(มีคลิป) โจทย์จำนวนเฉพาะ ที่ยังไม่มีใครสามารถแก้ได้
โลกของนักคณิตศาสตร์ มี "จำนวนเฉพาะ" (prime number) ซึ่งเป็นเรื่องหนึ่งที่มีความสำคัญ และน่าสนใจมาก เหมือนกับที่อะตอมเป็นหัวใจของฟิสิกส์กับเคมี และเรื่อง DNA เป็นความรู้พื้นฐานของพันธุศาสตร์ เพราะจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนในวิชาคณิตศาสตร์ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะ กับผลคูณของจำนวนเฉพาะ และองค์ความรู้กับโครงสร้างต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ ก็ได้มีการพัฒนาต่อยอดจากจำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะ คือ เลขจำนวนเต็มบวก ที่มีค่าตั้งแต่ 2 ขึ้นไป โดยมีแต่เลข 1 กับเลขตัวมันเองเท่านั้นที่สามารถหารมันได้ลงตัว ดังนั้นตามคำจำกัดความนี้ จำนวนเฉพาะจึงได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11,… แต่ 4=2x2, 6=2x3 และ 10=5x2 ไม่เป็น เพราะเป็นจำนวนที่มี 2, 3, 5, … หารมันได้ คือ แยกเป็นตัวประกอบได้
Euclid นักคณิตศาสตร์กรีกแห่ง Alexandria ซึ่งเคยมีชีวิตอยู่เมื่อ 2,300 ปีก่อน ได้เคยพิสูจน์ให้เห็นว่า จำนวนเฉพาะ ในโลกคณิตศาสตร์มีเป็นจำนวนมากนับไม่ถ้วน (infinite) แต่ Euclid ก็มิได้บอกวิธีที่จะช่วยให้รู้ในทันทีว่า จำนวนใดบ้างเป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องใช้เวลาในการหาตัวหารนาน เช่น สมมติว่ามีใครถามเราว่า 687,532,127 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ สมองและไหวพริบของคนธรรมดาจะต้องใช้เวลานานมาก จึงจะตอบได้ว่า “เป็น”
ด้าน Eratosthenes (276-195 ปีก่อนคริสตกาล) แห่งเมือง Cyrene ในกรีซ ได้คิดวิธีหาจำนวนเฉพาะอย่างเป็นระบบ ด้วยการหารจำนวนที่ต้องสงสัยด้วย 2, 3, 5,… จนกระทั่งถึงรากที่สองของจำนวนนั้น ซึ่งถ้ามีการหารได้ลงตัว จำนวนนั้นก็มิใช่จำนวนเฉพาะ วิธีกรองตัวเลขในลักษณะนี้ต้องใช้เวลานานมาก จึงจะสรุปผลได้
หรือแม้แต่คำถาม “ง่าย ๆ” ว่า ถ้ากำหนดเลข 25x10^9 (สองหมื่นห้าพันล้าน) มาให้ ถามว่า จำนวนเฉพาะที่มีค่าน้อยกว่าเลขนี้มีกี่จำนวน (คำตอบ คือ 1,091,987,405 จำนวน) จะมีใครกี่คนที่ตอบคำถามนี้ได้ถูกต้องบ้าง
โจทย์มากมายเกี่ยวกับจำนวนเฉพาะ จึงเป็นเรื่องที่ต้องอาศัยความสามารถทางสมองของนักคณิตศาสตร์กับนักวิทยาการคอมพิวเตอร์มาร่วมกันทำงาน เพื่อค้นหาคำตอบ
ในอดีตเมื่อ 3,800 ปีก่อน นักประวัติศาสตร์ได้ค้นพบว่า ชาว Babylon ในดินแดน Mesopotamia ก็มีความรู้และสนใจเรื่องจำนวนเฉพาะ เพราะในจารึกอักษรรูปลิ่ม (cuneiform) ชื่อ Plimpton 322 ที่ George A. Plimpton (1855–1936) ได้มอบให้พิพิธภัณฑ์แห่งมหาวิทยาลัย Columbia ในสหรัฐอเมริกาเก็บไว้ มีรอยจารึกเป็นจุด โดยที่จุดเหล่านั้นอยู่เรียงกันในลักษณะต่างๆ ที่แสดงจำนวนเลข
ในกรณีที่เป็นจำนวนเฉพาะ เราจะเห็นจุดเรียงกันเป็นแถวในหนึ่งมิติ เช่น 2, 3, 5, 7, 11,…. และในกรณีที่มิใช่จำนวนเฉพาะ คือ เป็นจำนวนประกอบ (composite number) จุดจะปรากฏในสองมิติ เช่น 4=2x2, 6=3x2, 8=4x2 และ 9=3x3 ดังรูป
จารึกแผ่นนี้ยังได้แสดงสมการ 1192+1202=169^2 ซึ่งเป็นสมการ Pythagoras ที่แสดงสมบัติความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากด้วย
ครั้นเมื่อถึงยุคกลาง นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียชื่อ Kamal al-Din Farisi (1260-1320) เป็นบุคคลแรกที่ได้เสนอทฤษฎีจำนวนซึ่งมีใจความว่า จำนวนเต็มทุกจำนวนที่มีค่ามากกว่า 1 สามารถเขียนได้ในรูปแบบที่เป็นผลคูณระหว่างจำนวนเฉพาะ เช่น 20=2x2x5, 26=2x13 และ 45=5x3x3 ฯลฯ
ในมุมมองนี้ จำนวนเฉพาะจึงเปรียบเสมือนเป็นอะตอมที่เป็นองค์ประกอบของโมเลกุล และจำนวนประกอบก็สามารถเปรียบเสมือนเป็นโมเลกุล
ในปี 1202 Leonardo Fibonacci (1170–1250) ได้เรียบเรียงตำราชื่อ Liber Abaci ซึ่งแปลว่า Book of Calculation ตำรานี้ได้แสดงวิธีหาจำนวนเฉพาะว่า สามารถจะหาได้จากสูตร 2^p-1 ถ้า p เป็นจำนวนเต็ม
การค้นหาจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด ก็เป็นอีกเรื่องหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์สนใจ
ในปี 1878 201;douard Lucas (1842-1891) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้พบว่า 2^127-1 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะจำนวนนี้มีค่าเท่ากับ 170,141,183,460,469,231,731,687,103,713,884,103,727
และมีชื่อเรียกอย่างเป็นทางการว่า M127 (M มาจากคำว่า Mersenne ซึ่งเป็นชื่อของนักบวช Marin Mersenne (1588-1648)) เลขจำนวนนี้ได้ครองสถิติการเป็นจำนวนเฉพาะค่ามากที่สุดนานถึง 75 ปี
นักคณิตศาสตร์บางคนได้พยายามคิดหาสูตรสำเร็จสำหรับใช้หาจำนวนเฉพาะ เช่น ได้สังเกตเห็นว่า จำนวน 31,331, 3331, 33331, 333331, 3333331 และ 33333331 ต่างก็เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น 333333331 ก็น่าจะเป็นด้วย แต่ปรากฏว่า 333333331 = 17x19607843
ดังนั้น การเดาในทำนองนี้ จึงใช้หาจำนวนเฉพาะไม่ได้อีก
จากนั้นความพยายามจะหาจำนวนเฉพาะค่ามากที่สุด ก็ได้กลายเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกและนักคอมพิวเตอร์หลายคนพยายามทำให้สำเร็จ สถิติจำนวนเฉพาะค่ามากที่สุดที่พบจนถึงวันนี้เป็นของ Luke Durant ซึ่งเป็นอดีตวิศวกรแห่งบริษัท Nvidia ที่ได้ใช้ซูเปอร์คอมพิวเตอร์ cloud ที่ขับเคลื่อนโดย GPU และได้พบว่า จำนวนเฉพาะ 2^136,279,841-1 (หรือ M136279841) นั้น มีตัวเลข 41,024,320 หลัก และเป็นจำนวนเฉพาะค่ามากที่สุดในโลก
การค้นพบนี้ได้รับการยืนยันว่าถูกต้อง เมื่อวันที่ 21 ตุลาคม ปี 2024 และเป็นผลงานที่นักคณิตศาสตร์ใน 17 ประเทศร่วมกันค้นหา ความสำเร็จนี้ได้ทำให้ Durant รับเงินรางวัล 3,000 เหรียญ และ Durant ก็ได้มอบเงินรางวัลให้แก่โรงเรียน Alabama School of Mathematics and Science ซึ่งเป็นโรงเรียนเก่าที่เขาเคยเรียนในวัยเด็ก
การค้นหาจำนวนเฉพาะที่มีค่ามากกว่า M136279841 จึงต้องดำเนินต่อไป
ในปี 2000 มูลนิธิ Electronic Frontier Foundation ได้ประกาศว่าจะมอบเงินรางวัลให้แก่บุคคลแรกที่พบจำนวนเฉพาะซึ่งประกอบด้วยตัวเลข 1 ล้านหลัก และอีก 9 ปีต่อมา ก็ประกาศจะให้รางวัลแก่บุคคลแรกที่พบจำนวนเฉพาะ ซึ่งประกอบด้วยตัวเลข 10 ล้านหลัก จากนั้นมูลนิธิก็ได้มอบรางวัล 150,000 ดอลลาร์ และ 250,000 ดอลลาร์แก่บุคคลแรกที่พบจำนวนเฉพาะที่มี 100 ล้านหลัก กับ 1,000 ล้านหลักตามลำดับ และได้มีคนรับรางวัลนี้ไปแล้ว
โจทย์ต่อไป คือ การค้นหาจำนวนเฉพาะที่มีหมื่นล้านหลัก แสนล้านหลัก ล้านล้านหลักไปเรื่อยๆ
ไม่เพียงแต่นักคณิตศาสตร์เท่านั้นที่สนใจจำนวนเฉพาะ นักประพันธ์ Miguel de Cervantes (1547-1616) ในยุค Renaissance ผู้ได้เรียบเรียงบทประพันธ์ที่เป็นอมตะและยิ่งใหญ่เรื่อง “Don Quixote” ที่ในเนื้อเรื่องมีทั้งอารมณ์ขัน การเสียดสีประชดสังคม และการผจญภัย ในบทประพันธ์นี้ Quixote ได้ขอร้องให้กวีคนหนึ่งแต่งกลอนขึ้นมา เพื่อจะนำไปให้คนรักของตน โดยให้นำอักษรทุกตัวที่มีในชื่อของคนรัก ซึ่งมีนามว่า Dulcinea del Tobora มาขึ้นต้นในบทกลอน ที่จะแบ่งออกเป็น 4 บทย่อย และแต่ละบทย่อยมี 4 พยางค์ หรืออาจจะแบ่งเป็น 5 บทย่อย ที่แต่ละบทย่อยมี 4 พยางค์ก็ได้
ผลปรากฏว่า กวีคนนั้นทำงานที่รับมอบหมายไม่ได้ เพราะชื่อของเธอ Dulcinea del Tobora มีตัวอักษรทั้งหมด 17 ตัว และ 17 เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น ถ้ากวีแบ่งเขียนเป็น 4 บทย่อย โดยแต่ละบทย่อยมี 4 พยางค์ เขาจะมีอักษรที่ไม่ได้ใช้เหลืออยู่ 1 เพราะ 4x4=17-1 แต่ถ้าเขาแบ่งเขียนเป็น 5 บทย่อย โดยแต่ละบทย่อยมี 4 พยางค์ เขาก็จะขาดตัวอักษรอีก 3 ตัว เพราะ 5x4=17+3
ด้านนักชีววิทยาก็ได้พบว่า จักจั่นฟาโรห์ (Magicicada septendecim) ซึ่งเป็นแมลงที่มีวงจรชีวิตยาวนานที่สุดชนิดหนึ่ง ในขณะที่ยังเป็นตัวอ่อน มันจะเติบโตอยู่ใต้ดิน และดำรงชีพด้วยการดูดกินอาหารจากรากต้นไม้ เป็นเวลานาน 17 ปี เมื่อเติบโตเต็มที่ มันก็จะปรากฏตัวขึ้นเหนือพื้นดิน เพื่อออกบินไปพร้อมๆ กันเป็นฝูงใหญ่
จากนั้นอีก 3 สัปดาห์ มันก็จะมีเวลา ในการรื่นเริงและหาคู่ เพื่อวางไข่ อันเป็นกิจกรรมสุดท้ายในชีวิต แล้วมันก็ลาโลก
นักชีววิทยายังได้พบอีกว่า ธรรมชาติยังมีจักจั่นอีกสายพันธุ์หนึ่ง คือ Magicicada tredecim ที่มีวงจรชีวิตเท่ากับ 13 ปี และดำรงชีพในลักษณะเดียวกันกับสายพันธุ์ 17 ปี
คำถามจึงมีว่า เหตุใดอายุขัยของจักจั่น จึงเป็น 13 กับ 17 ปี ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่
ในการตอบคำถามนี้ นักชีววิทยาได้ให้เหตุผลว่า จักจั่นมีศัตรูหลายชนิดที่คอยฆ่ากินมัน ถ้าศัตรูมีวงจรชีวิตเท่ากับ 2 ปี นั่นคือ ศัตรูก็จะปรากฏตัวในทุก 2, 4, 6, 8,…. ปี ศัตรูก็จะไม่พบมัน และจะพบมันเป็นครั้งแรกเมื่อ 2x17=34 ปี ชีวิตมันจึงอยู่รอดปลอดภัยไปนานถึง 34 ปี เป็นอย่างน้อย
และถ้าศัตรูของมันมีอายุขัย 16 ปี ชีวิตจักจั่นก็จะปลอดภัยไปนานถึง 16x17=272 ปี ซึ่งเป็นเวลาที่นาน และในปีที่ 272 นั้น การฆ่าล้างเผ่าพันธุ์อย่างขนานใหญ่ จึงจะเกิด
การมีอายุขัยที่เป็นจำนวนเฉพาะ 13, 17 ปี จึงทำให้ชีวิตมันปลอดภัยจากการตกเป็นเหยื่อ
ด้านนักคณิตศาสตร์เอง ก็ยังมีโจทย์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะอีกเป็นจำนวนมากที่ยังไม่มีคำตอบ และยังไม่ได้รับการพิสูจน์
โจทย์แรกที่มีชื่อเสียงมากชื่อการคาดการณ์ของ Goldbach (1690-1764) ซึ่งถือกำเนิดเมื่อ Christian Goldbach เขียนจดหมายถึง Leonhard Euler (1707–1783) ในปี 1742 ว่า จำนวนคู่ทุกจำนวน (4, 6, 8,…) สามารถแสดงได้ในรูปผลบวกของจำนวนเฉพาะสองจำนวนเสมอ
นั่นคือ 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 12=5+7, 22=11+11, 24=11+13 … ฯลฯ เพราะ 3, 5, 7, 11, 13 ล้วนเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น Goldbach จึงคาดการณ์ว่า จำนวนคู่ทุกจำนวน ก็จะต้องมีสมบัติที่ว่านี้
ส่วนจำนวนคี่ทุกจำนวนที่มีค่ามากกว่า 9 ก็สามารถจะเขียนเป็นผลบวกของจำนวนเฉพาะ 3 จำนวนที่เป็นเลขคี่ได้ในทำนองเดียวกัน
เช่น 9=1+3+5 และ 15=3+5+7 เป็นต้น
ในปี 1937 I.M. Vinogradov (1891-1983) สามารถพิสูจน์ได้ว่า จำนวนคี่ที่มีค่ามาก สามารถเขียนได้ในลักษณะของผลรวมจำนวนเฉพาะคี่ 3 จำนวนเสมอ
แต่ในกรณีจำนวนคู่ ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์การคาดการณ์ของ Goldbach ได้ ตลอดเวลา 283 ปีที่ผ่านมา ทั้ง ๆ ที่นักคณิตศาสตร์ได้ใช้คอมพิวเตอร์ค้นหาเลขคู่ถึง 4x10^18 จำนวน แล้วก็ยังพบว่า การคาดการณ์ของ Goldbach ก็ยังเป็นความจริง นั่นคือ เราสามารถหาจำนวนเฉพาะ 2 จำนวน มารวมกันได้เป็นจำนวนคู่ได้เสมอ แต่นักคณิตศาสตร์ก็ยังไม่ประสบความสำเร็จในการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่า การคาดการณ์นี้เป็นจริงในทุกตัวเลขตั้งแต่สี่ถึงอนันต์
การคาดการณ์ Goldbach จึงยังคงสถานภาพการเป็นปัญหาเปิด ที่ยังไม่มีใครพิสูจน์ได้อยู่
ความน่าสนใจอีกประเด็นหนึ่งของจำนวนเฉพาะก็คือ การมีจำนวนเฉพาะคู่แฝด (The Twin prime problem)
จำนวนเฉพาะสองจำนวนที่อยู่ติดกัน มีชื่อเรียกเป็นทางการว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝด ตามคำจำกัดความนี้ (3,5),(5,7),(11,13),(17,19)…(1997,1999) จึงเป็นจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มีค่าแตกต่างกันเท่ากับ 2 เพราะ 5-3=7-5=13-11=2 ค่าความแตกต่างนี้มีชื่อเรียกว่า prime gap
คำถามที่น่าสนใจมีว่า จำนวนเฉพาะที่มีค่าแตกต่างกัน หรือ prime gap เท่ากับ 2,3,4,.. มีกี่จำนวน
และจำนวนเฉพาะที่มีค่าแตกต่างกัน 2, 3, 4,… นั้น ค่าสูงสุดของจำนวนเหล่านั้น คือ จำนวนอะไร การค้นหาจำนวนเฉพาะคู่แฝดโดยคอมพิวเตอร์ได้แสดงให้รู้ว่า ในปี 2014 จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มี gap=2 และมีค่ามากที่สุด คือ จำนวน 3756801695685x2^666,669177; 1
โดยเลขทั้ง 2 จำนวนนี้ มี 200,700 หลัก
แต่เมื่อวันที่ 17 สิงหาคมปี 2025 นี้ สถิติจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มีค่ามากที่สุด และมีความแตกต่างกันเท่ากับ 2 คือ
2996863034895x2^1,240,000 177; 1
ซึ่งเป็นจำนวนที่มี 388,342 หลัก
โจทย์การค้นหาจำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มี prime gap ค่าต่างๆ จึงยังเป็นปัญหาเปิดอยู่
2024
นักคณิตศาสตร์คนสำคัญที่มีบทบาทมากในการศึกษาเรื่องนี้ คือ Yitang Zhang แห่งมหาวิทยาลัย California ที่ Santa Barbara ในสหรัฐอเมริกา Zhang เกิดเมื่อปี 1955 ในครอบครัวที่มีฐานะยากจน ทำให้ไม่ได้รับการศึกษาในโรงเรียน ทำให้ต้องพยายามเรียนคณิตศาสตร์ด้วยตนเอง จนกระทั่งมีอายุได้ 11 ปี ในระหว่างนั้น Zhang ต้องไปทำงานในไร่และโรงงาน เพื่อหาเงินส่งตัวเองเข้าเรียนที่มหาวิทยาลัยปักกิ่ง จนกระทั่งจบการศึกษาระดับปริญญาโท เมื่อมีอายุได้ 29 ปี
จากนั้นก็ได้อพยพครอบครัวไปสหรัฐฯ เพื่อเข้าเรียนปริญญาเอกทางคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัย Purdue จนจบการศึกษา แต่ก็หางานทำไม่ได้ จึงต้องไปทำงานเป็นพนักงานบัญชีและพนักงานส่งอาหาร ในที่สุดก็ได้งานเป็นครูสอนพีชคณิตและแคลคูลัส ที่มหาวิทยาลัย New Hampshire เมื่ออายุ 44 ปี
ในปี 2013 Zhang ได้ทำให้โลกคณิตศาสตร์ตกตะลึง เมื่อเขาเสนอวิธีพิสูจน์ที่พยายามแสดงให้เห็นว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มีค่าแตกต่างกัน 2 นั้น มีมากเป็นจำนวนนับไม่ถ้วน (infinite)
แต่งานของ Zhang ที่แสดงว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝดซึ่งมี prime gap = 70x10^6 นั้น จะมีมากถึงอนันต์ แต่ gap นี้ ก็มีขนาดใหญ่มาก เมื่อเปรียบเทียบกับ gap=2 แต่วิธีพิสูจน์ของ Zhang ก็ได้แสดงให้เห็นความก้าวหน้าระดับหนึ่ง
ในเดือนตุลาคม ปี 2013 ที่ Zhang เสนอผลงาน James A. Maynard (1987-ปัจจุบัน) ได้พัฒนาเทคนิคการหาจำนวนเฉพาะคู่แฝด ให้ดีขึ้น ง่ายขึ้น และสามารถตอบคำถามได้มากขึ้น ด้วยการแสดงให้เห็นว่า จำนวนเฉพาะคู่แฝดที่มีความแตกต่างกัน prime gap เท่ากับ 600 นั้น มีเป็นจำนวนมากนับไม่ถ้วน
ผลงานนี้มีส่วนทำให้ Maynard ได้รับรางวัล Ramanujan Prize เมื่อปี 2014 และรางวัลเหรียญ Fields ประจำปี 2022
โจทย์การพิสูจน์การมีมากถึงอนันต์ของจำนวนคู่แฝดที่มี gap ต่างๆ กัน จึงยังเป็นปัญหาเปิดอยู่
สมบัติอีกประการหนึ่งของจำนวนเฉพาะ คือ การมีลักษณะเป็นคู่แฝดสาม (triplet) คือ ประกอบด้วยจำนวนเฉพาะสามจำนวนเรียงกัน เช่น 7, 11, 13 และ 2707, 2711, 2713 โดยที่มีช่วงกว้าง 13-7=6 และ 2713-2707=6
ตราบถึงวันนี้ก็ยังไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนเฉพาะคู่แฝดสาม มีมากถึงอนันต์อีก
นอกจากนี้ก็มีสมบัติที่น่าสนใจอีกประการหนึ่งของจำนวนเฉพาะ คือ การเป็นอนุกรมเลขคณิต เช่น 5, 17, 29, 41, 53 ซึ่งมี gap=12 อนุกรมเลขคณิตชุดนี้มี 5 จำนวน คำถามมีว่า อนุกรมเลขคณิตของจำนวนเฉพาะที่มี 5, 6, 7, … จำนวนนี้ มีมากถึงอนันต์หรือไม่
นอกจากอนุกรมชุด 5 แล้ว เราก็ยังมีอนุกรมชุดที่มี gap=6, 7, 8, 9, 10 จนกระทั่งถึง 210 ก็มี เช่น
ตัวอย่างอนุกรมที่มี prime gap =210 ได้แก่ 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1870 และ 2089 และทั้งหมดมี 10 จำนวน
คำถามมีต่อไปว่า อนุกรมเลขคณิตของจำนวนเฉพาะที่มีจำนวน 10, 11, 12, … จำนวนนี้ จะมีจำนวนมากที่สุดได้กี่จำนวน
ปัจจุบันสถิติล่าสุด แสดงให้เรารู้ว่าอนุกรมเลขคณิตของจำนวนเฉพาะมีจำนวนสูงสุด คือ 27
ในอนาคต สถิติเหล่านี้ก็จะถูกทำลาย เมื่อนักคณิตศาสตร์และนักคอมพิวเตอร์มีคอมพิวเตอร์ควอนตัมใช้ แล้วโจทย์เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะก็จะมีมากนับอนันต์ คือ มากพอ ๆ กับจำนวนที่จำนวนเฉพาะมี
อ่านเพิ่มเติมจาก "GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2136,279,841 8722; 1". Mersenne Research, Inc. 21 October 2024. Archived from the original on 4 November 2024. Retrieved 21 October
ศ.ดร.สุทัศน์ ยกส้าน : ประวัติการทำงาน- ราชบัณฑิตสำนักวิทยาศาสตร์ สาขาฟิสิกส์และดาราศาสตร์ และ ศาสตราจารย์
ระดับ 11 ภาควิชาฟิสิกส์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ,นักวิทยาศาสตร์ดีเด่นและนักวิจัยดีเด่นแห่งชาติ สาขากายภาพและคณิตศาสตร์ประวัติการศึกษา-ปริญญาตรีและโทจากมหาวิทยาลัยลอนดอน,ปริญญาเอกจากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนีย
อ่านบทความ "โลกวิทยาการ" ได้ทุกวันศุกร์
website : mgronline.com
facebook : MGRonlineLive
twitter : @MGROnlineLive
instagram : mgronline
line : MGROnline
youtube : MGR Online VDO